上海创智学院回忆录

2026年上海创智学院夏令营回忆录

笔试

笔试共两个半小时，涉及高等数学、线性代数、概率论，以及一些智力题和一道压轴矩阵论题目。

高等数学考察级数收敛、积分计算、含参函数求导等，偏基础。线性代数涉及线性无关判断、行列式计算等，较简单。概率论涉及正态分布、交集并集计算等。智力题比较杂，甚至有社会学观察题。

回忆两道题目如下：

1. 数列 $a_n=\sin n$ 是否收敛？

题目： 判断数列 $a_n=\sin n$ 是否收敛（$n$ 按弧度制理解）。

证明（反证法）：

假设 $\sin n\to L$。由于子列平移不改变极限，有 $\sin (n+1)\to L$ 和 $\sin (n-1)\to L$。

利用三角恒等式：

左边取极限得 $L-L=0$，因此 $2\cos n\sin 1\to 0$。因为 $\sin 1\ne 0$，所以 $\cos n\to 0$。

再利用恒等式：

两边取极限得 $L+L=2L\cos 1$，即 $L(1-\cos 1)=0$。因为 $\cos 1\ne 1$，所以 $L=0$。

于是推出 $\sin n\to 0$ 且 $\cos n\to 0$，从而 ${\sin }^{2}n+{\cos }^{2}n\to 0$。但恒等式 ${\sin }^{2}n+{\cos }^{2}n=1$ 恒成立，矛盾。

结论： 数列 $a_n=\sin n$ 不收敛。

2. 用 SVD 表示最小二乘解与最小范数解

题目： 设矩阵 $A$ 的奇异值分解为 $A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T$，$r=\mathrm{rank}(A)$，求最小二乘问题 $\underset{x}{min}\parallel Ax-b{\parallel }_2$ 的所有解，并说明何时 $\parallel x{\parallel }_2$ 取得最小。

推导：

令 $y=V^{T}x$，则 $x=Vy$。由于 $U,V$ 正交，二范数在正交变换下不变，因此：

记 $c=U^{T}b$，原问题等价于 $\underset{y}{min}\parallel \mathrm{\Sigma }y-c{\parallel }_2$。展开得：

其中第二项与 $y$ 无关。要使残差最小，只需令 ${\sigma }_i{y}_i=c_i$ 对 $i=1,\dots ,r$，即 $y_i=c_i/{\sigma }_i$；$y$ 的其余分量是自由变量。

因此所有最小二乘解为：

矩阵形式为：

其中 $A^{+}=V_r{\mathrm{\Sigma }}_r^{-1}{U}_r^T$ 是 Moore-Penrose 伪逆，$V_0$ 是 $A$ 的零空间的标准正交基，$z\in {\mathbb{R}}^{n-r}$ 是自由变量。

最小范数解： 所有解中，零空间分量 $V_{0}z$ 不影响残差但会增加 $\parallel x{\parallel }_2$。由于 $V_r$ 与 $V_0$ 正交：

当且仅当 $z=0$ 时 $\parallel x{\parallel }_2$ 最小，因此最小范数最小二乘解为：

机试

前两题签到。第三题考察树上染色：染某个节点时其相邻节点都会被染色，求最小染色数。

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令 dp[i][0] 表示未染色
    dp[i][1] 表示主动染色
    dp[i][2] 表示被动染色
v 是 i 的子节点

dp[i][0] = sum(dp[u][2])
dp[i][1] = sum(min(dp[u][0], dp[u][1], dp[u][2])) + 1
dp[i][2] = sum(min(dp[u][1], dp[u][2])), 其中至少有一个状态为1，保证父节点被染
ans = min(dp[1][1], dp[1][2])

面试

5min 自我介绍 + 7min QA，偏向聊天：

1. 你在这几篇论文中的贡献是什么？
2. 我们觉得你之前的工作并不能迁移到具身智能中，你为什么会选择这个方向？
3. 谈谈你对 world model（未来规划）的看法。
4. 谈谈你最喜欢的运动（英语）。

老师并没有问具体的技术问题。

实训

两天 24h，avg chain 小组排名 8/11。QA 问了一些具身中的技术问题，因为没听懂所以也没记住，算是比较失败。

想念 sii 8卡 H200 的第 n 天。