CUTS -- A Deep Learning and Topological Framework for Multigranular Unsupervised Medical Image Segmentation

论文链接：CUTS: A Deep Learning and Topological Framework for Multigranular Unsupervised Medical Image Segmentation

此论文并不是基于迁移学习，理论基础是扩散映射。扩散映射（Diffusion Maps）是由 Coifman 和 Lafon 于 2006 年提出的一种非线性降维和数据结构分析方法，其核心思想是通过模拟高维数据上的 “热扩散过程”，捕捉数据的内在几何结构（如流形结构），并将高维数据映射到低维空间以保留关键的拓扑和几何信息。

1. 基本符号与目标

设图像像素总数为 $N=W\times H$（$W,H$ 为图像宽高），每个像素的嵌入向量为 $z_{ij}\in {\mathbb{R}}^d$（$d$ 为嵌入维度），所有嵌入构成数据矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{N\times d}$。

目标：通过扩散凝聚将 $X$ 粗粒度化为不同层次的簇（clusters），生成从细到粗的多尺度分割结果。

2. 亲和矩阵（Affinity Matrix）的构建

亲和矩阵用于衡量数据点（嵌入向量）之间的相似性，是扩散过程的基础。

文档中通过高斯核函数定义亲和矩阵 $K$：

其中：

• $x_m,x_n\in {\mathbb{R}}^d$ 是数据矩阵 $X$ 中的两个样本（嵌入向量）
• $\parallel \cdot {\parallel }^2$ 是欧氏距离的平方，衡量两样本的差异
• $ϵ$ 是带宽参数（bandwidth），控制邻域范围：
  • $ϵ$ 越大，更多远处的点会被视为"相似"，邻域越广

$K$ 是一个 $N\times N$ 的对称矩阵（Gram 矩阵），其元素 $K(x_m,x_n)$ 表示样本 $x_m$ 与 $x_n$ 的相似度（值越大越相似）。

3. 扩散算子（Diffusion Operator）的定义

扩散算子将亲和矩阵转换为"概率转移矩阵"，模拟数据点之间的"扩散"过程（类似马尔可夫随机游走）。

首先定义度矩阵（degree matrix）$D$：

$D$ 是对角矩阵，对角线元素 $D(x_m,x_m)$ 是 $K$ 中第 $m$ 行的总和，代表样本 $x_m$ 与所有其他样本的总相似度。

扩散算子 $P$ 定义为：

$P$ 是行归一化的矩阵（每行元素和为 1），其元素 $P(m,n)$ 表示从样本 $x_m$ 扩散到 $x_n$ 的单步概率，即"转移概率"。

4. 扩散凝聚的迭代过程

扩散凝聚通过时变扩散过程（time-inhomogeneous diffusion）实现粗粒度化：随着迭代，数据点逐渐向"局部重心"聚集，小簇合并为大簇，形成从细到粗的粒度层次。

迭代步骤：

1. 初始化：设初始数据矩阵为 $X_0=X$（原始嵌入向量）

2. 迭代更新（对于 $t=1,2,\dots ,T$）：

   • 计算当前数据 $X_{t-1}$ 的亲和矩阵 $K_{t-1}$（使用公式 3）
   • 计算度矩阵 $D_{t-1}$（使用公式 4b）
   • 计算扩散算子 $P_{t-1}=D_{t-1}^{-1}{K}_{t-1}$（使用公式 4a）
   • 更新数据矩阵：$X_t=P_{t-1}{X}_{t-1}$

即：

5. 核心机制：从细粒度到粗粒度的演化

扩散凝聚的本质是交替执行"相似性计算"和"数据聚合"：

每次迭代中：

• $K_{t-1}$ 重新计算当前数据点的相似性
• $P_{t-1}$ 将相似性转换为转移概率
• $X_t=P_{t-1}{X}_{t-1}$ 使每个数据点向"相似点的加权平均"（局部重心）移动，实现"凝聚"

随着迭代次数 $t$ 增加：

• 初始阶段（小 $t$）：仅最相似的点聚集，形成细粒度的小簇
• 后期阶段（大 $t$）：小簇逐渐合并为大簇，形成粗粒度的分割